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En primer lugar debemos crear una base de datos en MySQL en mi caso la base tiene como nombre facturación, en esta base he creado una Tabla Factura, con los siguientes campos idFactura(int,Autoincremental y Clave Primaria),fecha (DATETIME), fechaCorta (DATE)

CREATE TABLE `factura` (
  `idFactura` int(11) NOT NULL auto_increment,
  `Fecha` datetime default NULL,
  `FechaCorta` date default NULL,
  PRIMARY KEY  (`idFactura`)
)

Creamos un nuevo Proyecto de java y en el Método main programamos el siguiente código

public static void main(String[] args) throws ClassNotFoundException, SQLException {
        // TODO code application logic here

        java.util.Date dt = new java.util.Date();
        java.text.SimpleDateFormat sdf = new java.text.SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
        String fechaHora = sdf.format(dt);
        Class.forName("com.mysql.jdbc.Driver");
        Connection cn = DriverManager.getConnection("jdbc:mysql://localhost/facturacion", "root", "pauloguerra");
        
        java.util.Date dtc = new java.util.Date();
        java.text.SimpleDateFormat sdfc = new java.text.SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd");
        String yyyymmdd = sdf.format(dtc);
        
        PreparedStatement ps = cn.prepareStatement("insert into Factura(fecha,fechaCorta) values(?,?)");
        ps.setString(1, fechaHora);
        ps.setString(2, yyyymmdd);
        ps.executeUpdate();

    }

Dar clic sobre nuestro proyecto, seleccionar Propiedades, librerías/Bibliotecas y dar clic en agregar librerías, buscamos la libreria MYSQL como se observa en las siguientes imágenes